Ορμή και μεταβλητή δύναμη.

 

Ένα σώμα Α μάζας m1=2kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Σε μια στιγμή t=0, δέχεται την επίδραση μεταβλητής οριζόντιας δύναμης  το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται, όπως στο διάγραμμα.

i)  Αφού βρείτε πρώτα την εξίσωση F=F(t), του μέτρου της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο, για όσο χρόνο ασκείται στο σώμα, να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1=4s το μέτρο της, καθώς και το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος. Ποια χρονική στιγμή t2 το σώμα αρχίζει να κινείται;

ii) Να βρείτε την εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο, (dp/dt=f(t)) μέχρι τη στιγμή t3=10s και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.

iii) Να βρεθεί η ορμή του σώματος τη στιγμή t3;

iv) Τη  στιγμή t4=11,5s το σώμα Α συγκρούεται μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας m2=1kg, το οποίο κινείται αντίθετα και τη στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα μέτρου υ2=2,5m/s. Το αποτέλεσμα της κρούσης είναι το σώμα Α να ακινητοποιηθεί. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Β, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ η τριβή ολίσθησης μεταξύ του σώματος Α και του επιπέδου είναι ίση με την οριακή τριβή.

Απάντηση:

ή

Ορμή και μεταβλητή δύναμη.

Ορμή και μεταβλητή δύναμη.

Ορμή και μεταβλητή δύναμη. 

Δύο + μία πτώσεις σώματος.

  

 Ένα μικρό σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ορισμένο ύψος από την επιφάνειά της.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα με την οποία φτάνει στην επιφάνεια της Γης, όταν το ύψος είναι  h1=5m.

ii) Το ίδιο σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος h2=RΓ.

α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση με την οποία θα ξεκινήσει την πτώση του.

β) Ποια η ταχύτητά του μετά από πτώση 5m;

γ) Με ποια ταχύτητα το σώμα φτάνει στην επιφάνεια της Γης;

Στα παραπάνω θεωρούμε τη Γη ακίνητη, σε πολύ μεγάλη απόσταση από όλα τα άλλα ουράνια σώματα, χωρίς ατμόσφαιρα, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας κοντά στην επιφάνειά της είναι ίση με 10m/s2 και η ακτίνα της RΓ=6.400km.

Απάντηση:

ή

Δύο + μία πτώσεις σώματος.

Δύο + μία πτώσεις σώματος.

Ένα σύστημα σωμάτων κινείται

 

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m1=2kg και m2=1kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε ένα οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του. Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, με μέτρο F1=32,5Ν, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα το σώμα να αρχίζει να κινείται προς τα δεξιά.

i)  Να υπολογισθεί ο αρχικός (t=0+) ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος.

ii)  Μετά από λίγο, τη στιγμή t1 και ενώ το Α σώμα έχει μετατοπισθεί κατά x=0,2m, έχει αποκτήσει ταχύτητα μέτρου u=2m/s, ενώ το σώμα Β μόλις αρχίζει να ολισθαίνει.

α) Να υπολογισθεί η σταθερά k του ελατηρίου.

β) Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε μέσω του έργου της δύναμης στο σύστημα, μέχρι τη στιγμή t1; Με ποιες μορφές εμφανίζεται η ενέργεια αυτή; Να υπολογίσετε την ενέργεια κάθε μορφής.

iii)  Μόλις αρχίσει η ολίσθηση του Β σώματος μειώνουμε το μέτρο της δύναμης σε F2=15Ν, οπότε μια επόμενη στιγμή t2, το σώμα Α έχει ταχύτητα υ1=0,8m/s. Για τη στιγμή αυτή:

α) Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων (+του ιδανικού ελατηρίου).

β) Να βρεθεί η ολική ορμή το συστήματος.

γ) Ποια η ταχύτητα του σώματος Β;

Δίνεται g=10m/s2, ενώ το μέτρο της οριακής στατικής τριβής είναι ίσο με το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Υπενθυμίζεται επίσης ο νόμος του Hooke για το ελατήριο F=k∙Δl.

Απάντηση:

ή

Ένα σύστημα  σωμάτων κινείται

Ένα σύστημα  σωμάτων κινείται

Ένα σύστημα  σωμάτων κινείται

Το μονωμένο σύστημα και η ΑΔΟ

 1)   Στα παρακάτω σχήματα ένα σύστημα κινείται, ενώ δεν υπάρχουν τριβές, παρά μόνο μεταξύ του σώματος Σ και της σανίδας. Σε ποιες περιπτώσεις η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή;

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Το μονωμένο σύστημα και η ΑΔΟ

Το μονωμένο σύστημα και η ΑΔΟ

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

 

Ένα μικρό σώμα Σ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l=R=(8/π)=2,5m, με ταχύτητα μέτρου υ=2m/s και τη στιγμή t=0 περνά από την θέση Β, όπως το σχήμα (σε κάτοψη). Το κέντρο του κύκλου Ο είναι και αρχή ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y όπου ο άξονας x περνά και από το σημείο Β.

i)  Να υπολογισθεί η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς του σώματος, καθώς και η γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα, σε συνάρτηση με το χρόνο. Να γίνει η γραφική παράσταση φ=f(t), μέχρι τη στιγμή t1=12s. Σε ποια θέση βρίσκεται τη στιγμή αυτή το σώμα;

ii) Να βρείτε την εξίσωση που μας δίνει την τεταγμένη y, της θέσης του σώματος Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά, μέχρι τη στιγμή t1.

iii) Ποια η αντίστοιχη εξίσωση για την συνιστώσα της ταχύτητας στην διεύθυνση του άξονα y; Να γίνει επίσης η ανάλογη γραφική παράσταση υy =f(t), μέχρι τη στιγμή t1.

iv) Αφού υπολογίσετε την κεντρομόλο επιτάχυνση που ασκείται στο σώμα, να την αναλύσετε στους άξονες x και y και να βρείτε την συνιστώσα της στην διεύθυνση y.

Απάντηση:

ή

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της.

 

Ένα μικρό σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l, το άλλο άκρο  του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Φέρνουμε το σώμα στη θέση Α, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο (και τεντωμένο) και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο περνά από την θέση Γ, με το νήμα κατακόρυφο.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

i)  Κατά την κίνηση του σώματος Σ από τη θέση Α, μέχρι την θέση Γ, η ορμή του παραμένει σταθερή.

ii) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ στη θέση Α, είναι ίσος με το βάρος του.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ στη θέση Γ, είναι μηδενικός.

iv) Η ορμή του Σ στη θέση Γ είναι κάθετη στον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος.

v) Αν επαναλάβουμε το πείραμα διπλασιάζοντας το μήκος του νήματος, θα διπλασιαστεί και η τάση του νήματος στη θέση Γ.

Απάντηση:

ή

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της.

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της. 

Το σύστημα και η ορμή του

 

Ένα αμαξίδιο (Α), μάζας Μ=10kg ηρεμεί πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ πάνω του ‎ηρεμεί ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα. ‎Σε μια στιγμή t=0, ασκούμε στο αμαξίδιο μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου ‎F=10Ν.

i)  Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος. Kάποια στιγμή t₁ ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ είναι ίσος dp/dt=3kgm/s². Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής του αμαξιδίου (Α) τη στιγμή αυτή;‎

ii) Να βρεθεί η συνολική ορμή του συστήματος  τη χρονική στιγμή t₂=2s.

iii) Αν τη στιγμή t₂ το αμαξίδιο έχει ταχύτητα υ₁=1,6m/s, ποια ταχύτητα έχει το σώμα Σ;

iv) Τη στιγμή t₂ μηδενίζεται η ασκούμενη δύναμη F. Μετά από λίγο, τη στιγμή t₃, το αμαξίδιο έχει ταχύτητα u₁=1,7m/s και επιτάχυνση α₁=-0,15m/s².  Να βρεθεί  η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος Σ, την ίδια στιγμή t₃.

Απάντηση:

ή

Το σύστημα και η ορμή του

Το σύστημα και η ορμή του

Κυκλική κίνηση- οριζόντια βολή και κρούση

 

Μια μικρή σφαίρα Α εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀₁=6m/s από ορισμένο ύψος από το έδαφος. Μια δεύτερη σφαίρα Β μάζας m₂=1kg είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο. Τη στιγμή που το νήμα είναι κατακόρυφο η σφαίρα Β έχει ταχύτητα υ₀₂=5m/s, ενώ μετά από λίγο φτάνει στη θέση Γ, όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία θ, όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6.

i)  Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Β στη θέση Γ, καθώς και η τάση του νήματος στη θέση αυτή.

Στη θέση αυτή το νήμα κόβεται, ενώ ταυτόχρονα οι δυο σφαίρες συγκρούονται πλαστικά, με αποτέλεσμα το συσσωμάτωμα να αποκτά μηδενική ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να υπολογιστεί η μάζα της Α σφαίρας.

iii) Να υπολογιστεί η διάρκεια της οριζόντιας βολής που εκτέλεσε η Α σφαίρα.

iv) Να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας στη διάρκεια της κρούσης.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Κυκλική κίνηση- οριζόντια βολή και κρούση

Κυκλική κίνηση- οριζόντια βολή και κρούση

Εκτοξεύοντας ένα φορτισμένο σφαιρίδιο

 

Σφαιρίδιο Α μάζας m =2 g φορτισμένο με φορτίο q βάλλεται από μεγάλη απόσταση, με αρχική ταχύτητα υ_o=20 m/s, προς δεύτερο σφαιρίδιο Β, το οποίο συγκρατείται ακίνητο στο σημείο Ο, πάνω σε ένα οριζόντιο λείο και μονωτικό δάπεδο. Το σφαιρίδιο Β φέρει φορτίο Q=10 μC. Μόλις το σφαιρίδιο Α φτάσει στο σημείο Κ, όπου η απόσταση μεταξύ των σφαιριδίων είναι ίση με r₁=3cm, έχει ταχύτητα υ₁=10m/s.

i)  Να βρεθεί το φορτίο q του σφαιριδίου Α.

ii) Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σφαιριδίου Α στη θέση Κ.

iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του σωματιδίου Α στην θέση Κ.

iv) Ποια η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο σφαιριδίων;

 Δίνεται k_c = 9×10⁹ Ν⋅m²/ C² .

Απάντηση:

ή

Εκτοξεύοντας ένα φορτισμένο σφαιρίδιο

Εκτοξεύοντας ένα φορτισμένο σφαιρίδιο

Μήπως το σφαιρίδιο επιστρέφει;

 

 Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο και μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Κ και Λ, όπου (ΚΛ)=0,8m, έχουν στερεωθεί ακλόνητα  δυο μικρά φορτισμένα σφαιρίδια με ίσα φορτία Q=10^-5C. Σε ένα σημείο Α, του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ, όπου (ΚΑ)=d=0,2m, αφήνεται ένα τρίτο φορτισμένο σφαιρίδιο Σ, μάζας m=0,3g και φορτίου q=10^-7C.

i)  Να υπολογισθεί η δυναμική ενέργεια του σφαιριδίου Σ, λόγω της τοποθέτησής του μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο των δύο άλλων φορτίων, καθώς και η επιτάχυνση που θα αποκτήσει.

ii) Μετά από λίγο, το σφαιρίδιο φτάνει στη θέση Β, όπου (ΑΒ)=0,1m. Υποστηρίζεται ότι στη θέση Β το σφαιρίδιο έχει μικρότερη επιτάχυνση και μικρότερη δυναμική ενέργεια, από τις αντίστοιχες τιμές στην αρχική θέση Α. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή πρόκειται για μια λανθασμένη πρόβλεψη.

iii) Ποια είναι η θέση Γ στην οποία το σφαιρίδιο Σ θα αποκτήσει την μέγιστη ταχύτητα, κατά την κίνησή του; Να υπολογίσετε την δυναμική ενέργεια του σφαιριδίου στη θέση Γ, καθώς και την ταχύτητά του στη θέση αυτή.

iv) Ποια είναι η μικρότερη απόσταση στην οποία το Σ, θα πλησιάσει το ακίνητο σφαιρίδιο στην θέση Λ; Πόση θα είναι η δυναμική ενέργεια του Σ, στην μικρότερη αυτή απόσταση από το Λ;

v) Μπορείτε να περιγράψετε την εξέλιξη της κίνησης το σφαιριδίου Σ;

Δίνεται k_c = 9×10⁹ Ν⋅m²/ C² .

Απάντηση:

ή

Μήπως το σφαιρίδιο επιστρέφει;

Μήπως το σφαιρίδιο επιστρέφει;

Η ορμή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου

  

Μια μικρή σφαίρα Α μάζας m αφήνεται να πέσει από ορισμένο ύψος και φτάνοντας στο έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ₀ συγκρούεται πλαστικά, με ένα δεύτερο  σώμα Β, μάζας Μ=3m, το οποίο κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου επίσης υ_ο. Το σώμα Β δεν εμφανίζει τριβές με το επίπεδο και μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου u, όπως στο σχήμα.

i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες.

α) Στη διάρκεια της κρούσης η ορμή της σφαίρας Α διατηρείται.

β) Στη διάρκεια της κρούσης η ορμή του σώματος Β διατηρείται.

γ) Στη διάρκεια της κρούσης η ορμή του συστήματος (σφαίρα Α-σώμα Β), διατηρείται.

δ) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Β είναι οριζόντια.

ε) Η δύναμη F₂ που ασκεί η σφαίρα Α στο σώμα Β, στη διάρκεια της κρούσης είναι κατακόρυφη.

ii) Αφού σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα του συστήματος των δύο σωμάτων Α-Β, στη διάρκεια της κρούσης, κάνετε τις αντιστοιχίσεις για το μέτρο της κάθετης αντίδρασης που το επίπεδο  ασκεί  στο σώμα Β, στα διάφορα χρονικά διαστήματα:

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις  σας.

Απάντηση:

ή

Η ορμή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου 

Η ορμή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου

Το μονωμένο σύστημα και η ορμή

  

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m₁ και m₂ αντίστοιχα, είναι δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου, (υπακούει στο νόμο του Hooke έχοντας αμελητέα μάζα), το οποίο έχει το φυσικό μήκος του και ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης. Τραβάμε τα δύο σώματα επιμηκύνοντας το ελατήριο και σε μια στιγμή τα αφήνουμε να κινηθούν πάνω στο οριζόντιο επίπεδο.

i)  Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα A και Β, μόλις αφεθούν ελεύθερα να κινηθούν, ενώ το ελατήριο έχει κάποια επιμήκυνση. Ποιες από τις δυνάμεις αυτές είναι εσωτερικές και ποιες εξωτερικές για το σύστημα: σώμα Α-σώμα Β- ελατήριο;

ii) Να  χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την θέση σας.

α)  Αν τα δυο σώματα έχουν ίσες μάζες, από την αρχή διατήρησης της ορμής  για το σύστημα των δύο σωμάτων Α και Β, προκύπτει ότι αν σε μια στιγμή το σώμα Α έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=2m/s, τότε το σώμα Β θα έχει επίσης ταχύτητα μέτρου υ₂=2m/s.

β)  Αν m₁=2m₂ και κάποια στιγμή το σώμα Α έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=0,4m/s, τότε το σώμα Β θα έχει ταχύτητα μέτρου υ₂=0,8m/s, αφού η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων, παραμένει σταθερή

Απάντηση:

ή

 Το μονωμένο σύστημα και η ορμή

 Το μονωμένο σύστημα και η ορμή

Η μεταβολή της ορμής και η δύναμη

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ0=1m/s ένα σώμα μάζας 2kg στην διεύθυνση x, όπως  στο σχήμα. Σε μια στιγμή ασκείται πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F (κατά μέτρο και κατεύθυνση), με αποτέλεσμα μετά από 3s το σώμα να έχει ταχύτητα μέτρου υ1=5m/s η οποία σχηματίζει γωνία θ με την διεύθυνση x, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8. 

i)  Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Δpx και Δpy, στις διευθύνσεις των αξόνων x και y στο παραπάνω χρονικό διάστημα, καθώς και η συνολική μεταβολή της ορμής του σώματος 

ii) Να βρεθεί η κατεύθυνση και να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F. 

iii) Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης στο παραπάνω χρονικό διάστημα. 

iv) Ποια η στιγμιαία ισχύς Ρ0 της δύναμης στην αρχική θέση; Στην τελική θέση η ισχύς της δύναμης είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με την ισχύ Ρ0; 

Απάντηση:

ή

 Η μεταβολή της ορμής και η δύναμη

Η μεταβολή της ορμής και η δύναμη