Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση.

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=1kg είναι δεμένη στο άκρο μη ελαστικού νήματος μήκους l=0,9m, διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=l. Σε μια στιγμή περνάει από το σημείο Α, με το νήμα κατακόρυφο έχοντας ταχύτητα υ0=3m/s, ενώ μετά από λίγο περνάει από το σημείο Β, όπου η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ Α και Β  είναι h=0,35m.

i)  Να βρεθεί η τάση του νήματος, όταν η σφαίρα περνάει από τη θέση Α.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ1 της σφαίρας στη θέση Β, καθώς και η τάση του νήματος στη θέση αυτή;

iii) Συνεχίζοντας η σφαίρα φτάνει στη θέση Γ, όπου το νήμα γίνεται οριζόντιο. Να υπολογιστούν η οριζόντια και η κατακόρυφη επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση αυτή.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση.

Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση.

Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση.

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

 

Ένα μικρό σώμα Σ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l=R=(8/π)=2,5m, με ταχύτητα μέτρου υ=2m/s και τη στιγμή t=0 περνά από την θέση Β, όπως το σχήμα (σε κάτοψη). Το κέντρο του κύκλου Ο είναι και αρχή ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y όπου ο άξονας x περνά και από το σημείο Β.

i)  Να υπολογισθεί η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς του σώματος, καθώς και η γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα, σε συνάρτηση με το χρόνο. Να γίνει η γραφική παράσταση φ=f(t), μέχρι τη στιγμή t1=12s. Σε ποια θέση βρίσκεται τη στιγμή αυτή το σώμα;

ii) Να βρείτε την εξίσωση που μας δίνει την τεταγμένη y, της θέσης του σώματος Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά, μέχρι τη στιγμή t1.

iii) Ποια η αντίστοιχη εξίσωση για την συνιστώσα της ταχύτητας στην διεύθυνση του άξονα y; Να γίνει επίσης η ανάλογη γραφική παράσταση υy =f(t), μέχρι τη στιγμή t1.

iv) Αφού υπολογίσετε την κεντρομόλο επιτάχυνση που ασκείται στο σώμα, να την αναλύσετε στους άξονες x και y και να βρείτε την συνιστώσα της στην διεύθυνση y.

Απάντηση:

ή

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

Αλλάζοντας άξονες στην κυκλική κίνηση

 

Σαν απάντηση σε ένα ερώτημα στο φόρουμ «Όχι δεν είναι οριζόντια βολή», ας δούμε μια μελέτη κυκλικής κίνησης και με την κλασσική μέθοδο (Μελέτη για κύκλο με κεντρομόλο και εφαπτομενική διεύθυνση…), αλλά και χρησιμοποιώντας ορθογώνιους άξονες στο επίπεδο με οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση.

Άσκηση:

Ένα μικρό σώμα, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων, εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0=1m/s από την κορυφή Α ενός λείου ημισφαιρίου ακτίνας R=0,75m. Το σώμα κινείται σε επαφή με το ημισφαίριο και μετά από λίγο φτάνει στη θέση Β, έχοντας διαγράψει γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

i)  Να υπολογισθεί η ταχύτητα υ1 το σώματος στη θέση Β, καθώς και η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας αυτής.

ii) Να υπολογιστεί η κεντρομόλος επιτάχυνση το σώματος στις θέσεις Α και Β, καθώς και το μέτρο της κάθετης αντίδρασης που δέχεται το σώμα από το ημισφαίριο στις θέσεις αυτές.

iii) Να υπολογιστεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης του σώματος στη θέση Β.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας άξονες στην κυκλική κίνηση

Αλλάζοντας άξονες στην κυκλική κίνηση

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της.

 

Ένα μικρό σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l, το άλλο άκρο  του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Φέρνουμε το σώμα στη θέση Α, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο (και τεντωμένο) και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο περνά από την θέση Γ, με το νήμα κατακόρυφο.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

i)  Κατά την κίνηση του σώματος Σ από τη θέση Α, μέχρι την θέση Γ, η ορμή του παραμένει σταθερή.

ii) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ στη θέση Α, είναι ίσος με το βάρος του.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ στη θέση Γ, είναι μηδενικός.

iv) Η ορμή του Σ στη θέση Γ είναι κάθετη στον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος.

v) Αν επαναλάβουμε το πείραμα διπλασιάζοντας το μήκος του νήματος, θα διπλασιαστεί και η τάση του νήματος στη θέση Γ.

Απάντηση:

ή

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της.

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της. 

Δυο επιταχυνόμενες κινήσεις. Ευθύγραμμη- κυκλική

 

Μια μικρή σφαίρα ηρεμεί στην θέση Α ενός λείου οριζοντίου επιπέδου. Κάποια στιγμή δέχεται μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα μετά από λίγο να φτάνει στη θέση Β, όπου η δύναμη παύει να ασκείται και η σφαίρα εισέρχεται σε έναν λείο οριζόντιο οδηγό σχήματος τεταρτοκυκλίου, ακτίνας R και κέντρου Ο, με αποτέλεσμα να εξέρχεται από αυτόν στη θέση Γ (το σχήμα σε κάτοψη). Αν η δύναμη F₁ που δέχεται η σφαίρα από το τεταρτοκύκλιο έχει μέτρο ίσο με το μέτρο της δύναμης F, ενώ (ΑΒ)=x :

i)  Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας στη διάρκεια της επαφής με τον οδηγό, παραμένει σταθερό ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Για τα μέτρα των επιταχύνσεων α₁ και α₂ στις διαδρομές ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα ισχύει:

α) α₁ < α₂,    β)  α₁ = α₂,     γ) α₁ > α₂.

iii)  Για την απόσταση (ΑΒ)=x ισχύει:

α) x=0,5R,     β) x=R,      γ) x=1,5R.

iv) Αν η μεταβολή της ταχύτητας στη διαδρομή ΑΒ έχει μέτρο Δυ_ΑΒ=4m/s, να υπολογιστεί το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας στη διαδρομή ΒΓ (Δυ_ΒΓ).

v) Αν η σφαίρα έχει μάζα m=0,2kg, να  υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων F και F₁.

Απάντηση:

ή

 Δυο επιταχυνόμενες κινήσεις. Ευθύγραμμη- κυκλική

 Δυο επιταχυνόμενες κινήσεις. Ευθύγραμμη- κυκλική

Η τάση του νήματος σε δύο ΟΚΚ

 Μια μικρή σφαίρα είναι δεμένη στο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος, μήκους l=2m, το άλλο άκρο Ο του οποίου στερεώνεται σε ένα σημείο λείου οριζοντίου επιπέδου. Η σφαίρα τίθεται σε κίνηση, με κινητική ενέργεια Κ=0,9J, διαγράφοντας έναν οριζόντιο κύκλο και στο πρώτο σχήμα (σε κάτοψη), έχει σχεδιαστεί το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του σώματος.

i)  Να σχεδιάσετε το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας της σφαίρας, στην θέση του σχήματος.

ii) Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.

iii) Δένουμε το άκρο Ο του νήματος στο ταβάνι του δωματίου μας και θέτουμε ξανά σε κυκλική κίνηση τη σφαίρα με την ίδια κινητική ενέργεια, οπότε τώρα η σφαίρα διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Κ ακτίνας R=1,2m (το νήμα διαγράφει την πλευρική επιφάνεια ενός κώνου), όπως στο δεύτερο σχήμα.

α) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα το διάνυσμα τη γωνιακής ταχύτητας  της σφαίρας.

β) Να βρεθεί το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που  ασκείται στη σφαίρα.

γ) Να υπολογιστεί η μάζα της σφαίρας, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της.

Απάντηση:

 ή

 Η τάση του νήματος σε δύο ΟΚΚ

 Η τάση του νήματος σε δύο ΟΚΚ

Μια οριζόντια κυκλική κίνηση

 

Μια μικρή σφαίρα είναι δεμένη στο άκρο νήματος διαγράφοντας οριζόντιο κύκλο κέντρου Ο, όπως στο σχήμα (κάτοψη), πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.  Κάποια στιγμή t₀=0 η σφαίρα περνά από το σημείο Α, ενώ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με συχνότητα f=0,25Ηz.

i)   Να υπολογιστεί η γωνία που διαγράφει η σφαίρα μέχρι τη στιγμή t₁=15s, βρίσκοντας και την θέση της την στιγμή αυτή.

ii)  Αν η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι R=4/π (m), να υπολογιστεί για το παραπάνω χρονικό διάστημα 0-t₁:

α) Η μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας Δ|υ| της σφαίρας.

β) Η μεταβολή της ταχύτητα Δυ της σφαίρας.

iii) Τη στιγμή t₁ το νήμα κόβεται με αποτέλεσμα τη στιγμή t₂ η σφαίρα να συγκρούεται με ένα δεύτερο μικρό σώμα (αμελητέων διαστάσεων), το οποίο απέχει απόσταση d=R από το σημείο Α. Να βρεθεί η στιγμή t₂ της κρούσης.

Απάντηση:

ή

 Μια οριζόντια κυκλική κίνηση

 Μια οριζόντια κυκλική κίνηση

Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg, είναι δεμένη στο άκρο νήματος σταθερού μήκους l=0,4m, διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο κέντρου Ο, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή η σφαίρα περνά από το ψηλότερο σημείο της τροχιάς της Α, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₁=3m/s.

i)   Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση Α καθώς και η δύναμη που δέχεται από το νήμα.

ii)  Να εξηγήσετε γιατί η σφαίρα θα φτάσει στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς της, σημείο Β, έχοντας αυξήσει την ταχύτητά της, χρησιμοποιώντας την επιτάχυνσή της, σε μια τυχαία θέση.

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση Β. Πόση είναι η τάση του νήματος στη θέση αυτή;

iv) Να υπολογιστούν η οριζόντια και η κατακόρυφη επιτάχυνση της σφαίρας, την στιγμή που διέρχεται από την θέση Γ, με το νήμα οριζόντιο. Πόση είναι η τάση του νήματος στην θέση αυτή;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση

 Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση

Μια κυκλική κίνηση, όχι ομαλή

 

Μια σφαίρα μάζας m=0,2kg κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά κέντρου Ο, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=1m. Σε μια στιγμή η σφαίρα περνά από το σημείο Α, το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς της, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₁=6m/s.

i) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος στην παραπάνω θέση Α.

ii) Πόση είναι η κινητική ενέργεια της σφαίρας στην θέση Α και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας;

iii) Μετά από λίγο η σφαίρα περνά από τη θέση Β, όπου το νήμα γίνεται οριζόντιο. Για την θέση αυτή να βρεθούν:

α) Η ταχύτητα της σφαίρας.

β) Η τάση του νήματος.

γ) Η οριζόντια και η κατακόρυφη επιτάχυνση της σφαίρας.

iv) Να υπολογιστούν η μεταβολή της (γραμμικής) ταχύτητας μεταξύ των θέσεων Α και Β. Ποια η αντίστοιχη μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια κυκλική κίνηση, όχι ομαλή

 Μια κυκλική κίνηση, όχι ομαλή

Η κυκλική κίνηση και η ορμή

 

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=2kg κινείται σε οριζόντια κυκλική τροχιά, κέντρου Ο, δεμένο στο άκρο μη ελαστικού νήματος, μήκους l=2m, με ταχύτητα υ₁=4m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t₀=0, περνά από την θέση Α, ενώ τη στιγμή t₁ φτάνει για πρώτη φορά στο αντιδιαμετρικό σημείο Β. Στη θέση αυτή, το Σ₁ συγκρούεται πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα Σ₂, μάζας m₂=4kg, το οποίο κινείται επίσης οριζόντια με ταχύτητα κάθετη στην ακτίνα ΟΒ, μέτρου υ₂=5m/s, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i)  Ποια χρονική στιγμή συγκρούονται τα δυο σώματα;

ii)  Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ₁, μεταξύ των σημείων Α και Β (ελάχιστα πριν την κρούση).

iii) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση.

iv) Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα, ποια χρονική στιγμή το συσσωμάτωμα θα περάσει από την θέση Α, για πρώτη φορά, μετά την κρούση;

Απάντηση:

ή

 Η κυκλική κίνηση και η ορμή

 Η κυκλική κίνηση και η ορμή

Το ημισφαίριο αλλάζει την πορεία της σφαίρας

Μια μικρή σφαίρα, μάζας m=0,5kg αφήνεται να πέσει από το σημείο Α και αφού διανύσει απόσταση h φτάνει στο άκρο ενός λείου ημισφαιρίου κέντρου Κ και ακτίνας R=0,6m, εντός του οποίου συνεχίζει  την κίνησή της.

i)  Να σχεδιάσετε την ταχύτητα και την επιτάχυνση της σφαίρας, στη θέση Β κατά την πτώση της, στο κατώτερο σημείο του ημισφαιρίου Δ, καθώς και σε μια θέση Ε, αφού εγκαταλείψει το ημισφαίριο και κινείται προς τα πάνω.

ii) Αν για το μέτρο της επιτάχυνσης στα σημεία Β και Δ, ισχύει α_Δ=4α_Β, να υπολογιστεί η απόσταση (ΑΓ)= h.

iii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της σφαίρας στις θέσεις Β και Δ.

iv) Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας μεταξύ των θέσεων Γ και Δ.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

   Το ημισφαίριο αλλάζει την πορεία της σφαίρας

   Το ημισφαίριο αλλάζει την πορεία της σφαίρας 

Διαγώνισμα κυκλική κίνηση 2021

Από ύψος h = 0,8 m πάνω από έναν περιστρεφόμενο δίσκο ακτίνα R, αφήνουμε ένα πολύ μικρό σώμα να πέσει κατακόρυφα και χτυπά το δίσκο σε σημείο της περιφέρειας Α. Μετά από Δt = 1 s από το ίδιο σημείο εκτοξεύουμε με οριζόντια ταχύτητα υ₀ = 4 m/s δεύτερο όμοιο σώμα με το πρώτο και διαγράφοντας οριζόντια βολή χτυπά το δίσκο σε σημείο Β της περιφέρειας, έτσι ώστε η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ να είναι 135^ο. Το επίπεδο της βολής συμπίπτει με μία διάμετρο του δίσκου. Ο δίσκος κινείται συνεχώς με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και τα δύο χτυπήματα από τα σώματα δεν επιφέρουν καμία μεταβολή στην κίνηση του. Να βρεθούν:

α. Ο χρόνος που χρειάζεται ο δίσκος για να εκτελέσει μία πλήρη περιστροφή

β. Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειάς του

Τοποθετούμε πάνω στο δίσκο (χωρίς να προκαλέσουμε μεταβολή στην κίνησή του) μικρό κέρμα μάζας m = 0,02 kg και αυτό μόλις που δεν ολισθαίνει ως προς τον δίσκο.

Η συνέχεια εδώ.

Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

 

Ένα σώμα μάζας m=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος ενός άξονα x με ταχύτητα υ₀=2m/s και τη στιγμή t=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή των οριζοντίων ορθογωνίων αξόνων x, y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Στη θέση αυτή μπορεί να δεχτεί την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης, σε τρεις διαφορετικές εκδοχές.

Α) Σταθερή δύναμη όπως η F₁=2Ν, ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα υ₀.

Β) Σταθερή δύναμη στην διεύθυνση y, όπως η F₂=2Ν, κάθετη στην αρχική ταχύτητα υ₀.

Γ) Δύναμη σταθερού μέτρου F₃=2Ν, η οποία διατηρείται διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα του σώματος

a) Για τη στιγμή t₁=2s, να βρεθούν και για τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις:

i) Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος.

ii) Η θέση του σώματος.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ταχύτητας του σώματος στην διεύθυνση x από 0-2s.

b)  Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις x=x(t) για την τετμημένη του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και για τις τρεις περιπτώσεις, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂=15 s. 

Δίνεται συν1=0,54, όπου η γωνία μετριέται σε rad.

Απάντηση:

ή

 Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

 Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές

  Μια μικρή σφαίρα μάζας 100g αφήνεται να κινηθεί από σημείο Α οριζοντίου επιπέδου, που βρίσκεται σε ύψος h=1,25m από το έδαφος και να φτάσει στο σημείο Β του εδάφους. 

Η διαδρομή μπορεί να είναι ευθύγραμμη, κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, όπως στο πρώτο σχήμα ή να είναι κυκλική, κέντρου Ο και ακτίνας R=h, όπως στο δεύτερο σχήμα, ενώ τριβές δεν υπάρχουν.

i) Σε ποια περίπτωση η σφαίρα θα φτάσει στο έδαφος με μεγαλύτερη ταχύτητα;

ii) Κάποια στιγμή η σφαίρα περνάει από το μέσον Μ της διαδρομής ΑΒ. Για την θέση αυτή να υπολογιστούν, για κάθε μια διαδρομή χωριστά:

α) Η ταχύτητα της σφαίρας.

β) Η κάθετη αντίδραση που ασκείται στη σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο και από την επιφάνεια στήριξης στην κυκλική διαδρομή.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας της σφαίρας.

Δίνεται ότι η σφαίρα δεν στρέφεται κατά την κίνησή της, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μετακίνηση  σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές

 Μετακίνηση  σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές

Όταν ένας δίσκος περιστρέφεται

 

Ένας οριζόντιος δίσκος, ακτίνας R=0,5m, στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=10rad/s, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα. Μια μικρή σφαίρα έχει καρφωθεί στο άκρο μιας ακτίνας και τη στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση Α του σχήματος.

i)  Θέλουμε να σχεδιάσουμε τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας, της γραμμικής ταχύτητας και της επιτάχυνσης της σφαίρας στη θέση Α. Να σχεδιαστούν τα παραπάνω διανύσματα, στα παρακάτω σχήματα, όπου στο δεύτερο βλέπουμε το δίσκο από πάνω (κάτοψη), με αποτέλεσμα ο δίσκος να φαίνεται σαν  κύκλος.

ii) Να υπολογιστούν τα μέτρα των παραπάνω φυσικών μεγεθών.

iii) Ποια χρονική στιγμή t₁, η σφαίρα περνά από ένα σημείο Β, όπου ο δίσκος έχει περιστραφεί κατά 90°;

iv) Να βρεθούν η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας και η μεταβολή της ταχύτητας της σφαίρας, στο χρονικό διάστημα Δt=t₁-t₀.

Απάντηση:

ή

 Όταν ένας  δίσκος περιστρέφεται

 Όταν ένας  δίσκος περιστρέφεται