Όταν ξανά η ταχύτητα είναι κατακόρυφη

 Ένα σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ορισμένο ύψος και φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα υ1. Το ίδιο σώμα εκτοξεύεται από το ίδιο ύψος οριζόντια, με αρχική ταχύτητα υ0, ενώ πάνω του ασκείται και μια σταθερή  δύναμη F, με αποτέλεσμα το σώμα να φτάνει στο έδαφος έχοντας κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ1.

Ποιο  από τα παρακάτω σχήματα δείχνει την διεύθυνση της ασκούμενης δύναμης F;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας, θεωρώντας αμελητέα την αντίσταση του αέρα.

Απάντηση:

ή

Όταν ξανά η ταχύτητα είναι κατακόρυφη

Όταν ξανά η ταχύτητα είναι κατακόρυφη

Δύο εκτοξεύσεις σωμάτων

 

Ένα σώμα Α μάζας  m ηρεμεί πάνω σε ένα τραπέζι. Ασκώντας πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F το μετακινούμε μέχρι το άκρο του τραπεζιού, όπου καταργώντας την δύναμη, το  σώμα πέφτει ελεύθερα και αφού διανύσει οριζόντια απόσταση  d₁=2m κτυπάει στο έδαφος.

Επαναλαμβάνουμε το πείραμα με δεύτερο σώμα Β, μάζας 4m, το οποίο τοποθετούμε στην ίδια αρχική θέση πάνω στο τραπέζι. Αν τα σώματα δεν παρουσιάζουν τριβές με το τραπέζι και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, τότε:

i) Η οριζόντια απόσταση που διανύει το σώμα Β, μέχρι το έδαφος είναι:

α) d₂=0,5m,  β) d₂=1m,          γ) d₂=2m,          δ) d₂=4m.

ii) Μεγαλύτερη ενέργεια, μέσω του έργου της δύναμης F, κέρδισε:

α) το σώμα Α,  β) το σώμα Β,  γ) τα σώματα πήραν ίσα ποσά ενέργειας.

iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, την στιγμή που φτάνει στο έδαφος, έχει:

α) το σώμα Α,  β) το σώμα Β,  γ) τα σώματα έχουν ίσες κινητικές ενέργειες.

Απάντηση:

ή

 Δύο  εκτοξεύσεις σωμάτων

 Δύο  εκτοξεύσεις σωμάτων

Γνωρίζοντας την ταχύτητα κάποια στιγμή

 

Από ένα σημείο Α, σε ύψος Η=80m από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια μια μικρή σφαίρα, με αρχική ταχύτητα υ_ο, τη χρονική στιγμή t₀=0.  Τη στιγμή t₁=3s η σφαίρα φτάνει σε μια θέση Β και η ταχύτητά του σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφη  διεύθυνση. Αν η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ζητούνται:

i)  Η ταχύτητα της  σφαίρας στην θέση Β.

ii)  Η οριζόντια απόσταση μεταξύ των θέσεων Α και Β.

iii) Το ύψος από το έδαφος της θέσης Β.

iv) Μετά από πόσο χρόνο, η σφαίρα θα φτάσει στο έδαφος στη θέση Γ; Να υπολογιστεί η μεταβολή της ταχύτητας της σφαίρας μεταξύ των θέσεων Β και Γ.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Γνωρίζοντας την ταχύτητα κάποια στιγμή

 Γνωρίζοντας την ταχύτητα κάποια στιγμή

Διαγώνισμα στην οριζόντια βολή 2021

ΘΕΜΑ Δ

Σώμα Σ₁ μάζας m = 0,4 kg εκτοξεύεται από το σημείο Α με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₀ = 20√2 m/s από κάποιο όροφο πολυκατοικίας. Τη στιγμή που το σώμα Σ₁ φτάνει στο έδαφος το διάνυσμα της ταχύτητας υ (αν το προεκτείνουμε προς το κτήριο) τέμνει το κτήριο σε σημείο Β που βρίσκεται σε ύψος H = 40 m πάνω από το έδαφος. Η ταράτσα του του κτηρίου βρίσκεται σε ύψος h₁ = 5 m πάνω από το σημείο Β. Να βρεθούν:

α. Το ύψος από το οποίο έγινε η βολή

β. Η γωνία μεταξύ επιτάχυνσης και ταχύτητας τη στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος.

Αν επαναλάβουμε τη βολή από την ταράτσα του κτηρίου τότε το σώμα κτυπά το έδαφος σε σημείο Δ που απέχει από το σημείο Γ που χτύπησε η προηγούμενη ρίψη απόσταση d.

γ. Πόσο απέχει το σημείο Γ από το σημείο Δ;

Τη στιγμή t₀ = 0 που εκτελούμε τη βολή από την ταράτσα ένα άλλο σώμα Σ₂ αρχίζει να κινείται και περνά από το σημείο Γ μετά από 0,5 s από την εκκίνηση του Σ₁ κινούμενο με σταθερή ταχύτητα ως το σημείο Δ.

δ. Ποια η ταχύτητα του Σ₂ ώστε να συναντηθεί με το Σ₁ στο σημείο Δ;

Δίνεται g = 10 m/s². Οι αντιστάσεις του αέρα θεωρούνται αμελητέες.

 

Η συνέχεια εδώ.

 

Το Γ θέμα είναι διασκευή σε μία ανάρτηση του Νίκου Κυριάκου τον οποίο ευχαριστώ για την παραχώρηση.

Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

 

Ένα σώμα μάζας m=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος ενός άξονα x με ταχύτητα υ₀=2m/s και τη στιγμή t=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή των οριζοντίων ορθογωνίων αξόνων x, y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Στη θέση αυτή μπορεί να δεχτεί την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης, σε τρεις διαφορετικές εκδοχές.

Α) Σταθερή δύναμη όπως η F₁=2Ν, ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα υ₀.

Β) Σταθερή δύναμη στην διεύθυνση y, όπως η F₂=2Ν, κάθετη στην αρχική ταχύτητα υ₀.

Γ) Δύναμη σταθερού μέτρου F₃=2Ν, η οποία διατηρείται διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα του σώματος

a) Για τη στιγμή t₁=2s, να βρεθούν και για τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις:

i) Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος.

ii) Η θέση του σώματος.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ταχύτητας του σώματος στην διεύθυνση x από 0-2s.

b)  Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις x=x(t) για την τετμημένη του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και για τις τρεις περιπτώσεις, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂=15 s. 

Δίνεται συν1=0,54, όπου η γωνία μετριέται σε rad.

Απάντηση:

ή

 Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

 Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

Η αρχή της επαλληλίας σε δύο εκτοξεύσεις.

    

Μια μπάλα, μάζας m=0,5kg, εκτοξεύεται από την ταράτσα της σπιτιού, σε ύψος h=45m, οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀=12m/s.

i) Σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο έδαφος, σε πόση οριζόντια απόσταση θα συμβεί αυτό και ποια η τελική κινητική ενέργεια της μπάλας.

ii) Επαναλαμβάνουμε την εκτόξευση, αλλά τώρα με την βοήθεια κατάλληλου μηχανισμού, ασκείται στην μπάλα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=3Ν, ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα.

α) Σε πόσο χρόνο θα φτάσει τώρα η μπάλα στο έδαφος και σε πόση οριζόντια απόσταση θα συμβεί αυτό;

β) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της μπάλας, ελάχιστα πριν την πρόσκρουση στο έδαφος και να συγκριθεί με την αρχική μηχανική ενέργεια της στιγμή της εκτόξευσης. Να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα.

iii) Αν στην δεύτερη εκτόξευση η δύναμη F έπαυε να ασκείται 2s μετά την εκτόξευση, σε ποιο σημείο του εδάφους θα έπεφτε η μπάλα;

Δίνεται g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Η αρχή της επαλληλίας σε δύο εκτοξεύσεις.

Η αρχή της επαλληλίας σε δύο εκτοξεύσεις.

Δύο κινήσεις. Η μια οριζόντια βολή.

 

Από ένα σημείο Ο, σε ύψος Η=45m, από το έδαφος, εκτοξεύεται μια μικρή μπάλα οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀=9m/s, τη χρονική στιγμή t₀=0. Την ίδια στιγμή από τη θέση Α στο έδαφος, στην ίδια κατακόρυφο με το Ο, ξεκινά να κινείται με σταθερή επιτάχυνση α=6m/s² ένα μικρό αυτοκινητάκι, προς την ίδια κατεύθυνση, όπως στο σχήμα.

i)   Να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δύο κινουμένων σωμάτων, τα οποία θεωρούμε αμελητέων διαστάσεων, τη χρονική στιγμή t₁=2s.

ii) Να αποδειχθεί ότι η μπάλα θα πέσει πάνω στο αυτοκινητάκι.

iii) Να υπολογισθεί η διαφορά των δύο ταχυτήτων υ_μ-υ_α ελάχιστα πριν η μπάλα κτυπήσει το αυτοκινητάκι.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Δύο κινήσεις. Η μια οριζόντια βολή.

 Δύο κινήσεις. Η μια οριζόντια βολή.

Βολή στο κεκλιμένο. Η θεωρία …

Από κάποιο σημείο κεκλιμένου επιπέδου εκτοξεύουμε σώμα, με οριζόντια ταχύτητα υ₀, έτσι ώστε να προσγειωθεί σε κάποιο σημείο του κεκλιμένου επιπέδου. Η γωνία του κεκλιμένου επιπέδου είναι θ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν:

α. Ποια είναι η μέγιστη απόσταση από το κεκλιμένο επίπεδο που βρίσκεται το σώμα κατά την διάρκεια της βολής.

β. Ποια χρονική στιγμή το σώμα βρίσκεται στην μέγιστη απόσταση από το κεκλιμένο επίπεδο.

γ. Ποια γωνία σχηματίζει η ταχύτητα υ με το κεκλιμένο επίπεδο όταν το σώμα απέχει την μέγιστη απόσταση από το κεκλιμένο επίπεδο.

Θεωρήστε γνωστό το ύψος Η μεταξύ του σημείου βολής και του σημείου πτώσης στο κεκλιμένο επίπεδο..

Η συνέχεια εδώ .

Η μετατόπιση στην οριζόντια βολή

Από το σημείο Ο, το οποίο βρίσκεται σε κάποιο ύψος από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ_ο, τη στιγμή t₀=0, μια μπάλα μάζας 0,5kg.  Την χρονική στιγμή t₁=2s, η μπάλα περνά από το σημείο Α, έχοντας μετατοπισθεί κατά 25m.

i)   Να βρεθεί η μεταβολή της ταχύτητας και η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της μπάλας στο διάστημα 0-t₁.

ii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της μπάλας στη θέση Α.

iii) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα της μετατόπισης τη στιγμή t₁, με την οριζόντια διεύθυνση και να συγκριθεί με την αντίστοιχη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας της μπάλας στη θέση Α.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η μετατόπιση στην οριζόντια βολή

 Η μετατόπιση στην οριζόντια βολή

Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα

Δυο όμοιες μπάλες εκτοξεύονται οριζόντια από δυο σημεία Α και Β τα οποία βρίσκονται σε ύψη h₁ και h₂, στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος και στο ίδιο σημείο.

i)  Για τη χρονική στιγμή εκτόξευσης κάθε μπάλας ισχύει:

α) Πρώτα εκτοξεύθηκε η μπάλα στη θέση Α.

β) Πρώτα εκτοξεύθηκε η μπάλα στη θέση Β.

γ) Οι δυο μπάλες εκτοξεύθηκαν ταυτόχρονα.

ii) Αν h₂=4h₁ οι αρχικές ταχύτητες εκτόξευσης ικανοποιούν τη σχέση:

α) υ₁= ½ υ₂,   β) υ₁= υ₂,   γ) υ₁=2υ₂,   δ) υ₁= 4υ₂.

iii) Αν dΚ₁/dt ο τελικός ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της πρώτης μπάλας και dΚ₂/dt ο αντίστοιχος ρυθμός της δεύτερης μπάλας, ισχύει:

α) dΚ₁/dt< dΚ₂/dt   β)   dΚ₁/dt = dΚ₂/dt     γ) dΚ₁/dt > dΚ₂/dt  

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα

 Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα

Μια βολή στο ημικύκλιο.

Από ένα σημείο Α(0, 0), του οριζοντίου επιπέδου εκτοξεύουμε μικρή σφαίρα Σ, μάζας m = 0,3 kg. Η σφαίρα κάνει οριζόντια βολή σε ημικύκλιο ακτίνας R = 10√3 m. Η μικρή σφαίρα χτυπά το ημικύκλιο στο σημείο Κ όπου η ακτίνα ΟΚ σχηματίζει με την κατακόρυφη ακτίνα ΟΛ γωνία θ = 30^ο. Να βρείτε:

α. την βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος ελάχιστα πριν χτυπήσει στο ημικύκλιο.

β. το μέτρο της ταχύτητας υ₀ με την οποία η σφαίρα εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο.

γ. την κινητική ενέργεια την στιγμή που η τροχιά της βολή, τέμνει την κατακόρυφη ακτίνα ΟΛ.

δ. το μέσο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας κατά την διάρκεια της οριζόντιας βολής

Θεωρούμε επίπεδο αναφοράς της δυναμικής ενέργειας το επίπεδο που περνά από το Ο.

Δίνεται g = 10 m/s². Οι τριβές από τον αέρα θεωρούνται αμελητέες.

  

Δύο βολές ταυτόχρονα

Δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ μάζας m = 0,2 kg, εκτοξεύονται ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο, που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης. Το μεν Σ₁ κατακόρυφα προς τα πάνω, το δε Σ₂ οριζόντια με την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα υ₀. Τη στιγμή που το Σ₂ φτάνει στο έδαφος η απόσταση μεταξύ των δύο είναι η μέγιστη δυνατή, που μπορούν να έχουν τα σημεία των τροχιών των δύο σωμάτων. Η απόσταση αυτή είναι d = 40√2  m

α. Να δείξετε ότι το βεληνεκές της οριζόντιας βολής είναι διπλάσιο από το ύψος που βλήθηκαν τα σώματα.

β. Να υπολογίσετε την αρχική κινητική ενέργεια με την οποία εκτοξεύτηκε το κάθε σώμα.

γ. Ποιες οι εξισώσεις κίνησης των δύο σωμάτων;

δ. Ποια η απόσταση μεταξύ των σωμάτων 0,5 s, πριν γίνει μέγιστη;

Δίνεται g = 10 m/s² και ως αρχή των αξόνων θεωρούμε το σημείο των βολών, θετική φορά για τον κατακόρυφο άξονα η προς τα κάτω και για τον οριζόντιο άξονα η προς τα δεξιά.

   

Οριζόντια βολή και έργα

Μια μπάλα εκτοξεύεται από ορισμένο ύψος από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα υ₀=20m/s τη στιγμή t₀=0. Μετά από λίγο τη στιγμή t₁, περνά από μια θέση Α και τη στιγμή t₂, που η ταχύτητά της σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση, από τη θέση Β.

i)  Να βρεθεί  η στιγμή t₂, καθώς και η ταχύτητα υ₂ της μπάλας τη στιγμή αυτή.

ii) Αν κατά την μετακίνηση από το Α στο Β η δυναμική ενέργεια της μπάλας μειώθηκε κατά 60J,

 α) να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας, μεταξύ των δύο αυτών θέσεων.

 β) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους από το Α στο Β.

iii) Αν  η μάζα της μπάλας είναι m=0,4kg, να υπολογιστούν:

α) Η χρονική στιγμή t₁ κατά την οποία η μπάλα περνά από το σημείο Α.

β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μπάλας, τις στιγμές t₁ και t₂.

γ) Οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας τις παραπάνω στιγμές.

Δίνεται g=10m/s²,  ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή  

 Οριζόντια βολή και έργα

Οριζόντια βολή και έργα

Στα ίχνη μιάς βολής

Σώμα μάζας m = 0,2 kg, βάλλεται την χρονική στιγμή t₀ = 0, οριζόντια, με ταχύτητα μέτρου υ₀, από ύψος h πάνω από το έδαφος. Το σώμα την χρονική στιγμή t₁ περνά από ένα σημείο Α της τροχιάς του και μία μεταγενέστερη χρονική στιγμή t₂ περνά από κάποιο σημείο Β της τροχιάς του. Το χρονικό διάστημα Δt = t₂ – t₁ για την μετάβαση από το σημείο Α στο σημείο Β είναι 3 s. Τα ίχνη των σημείων Α και Β πάνω στο έδαφος απέχουν Δs = 75 m. Η απόσταση του σημείου Α από το σημείο Β είναι d = 75√2 <![endif]--> m. Το σώμα αφού περάσει από το σημείο Β χρειάζεται ακόμη 2 s για να φτάσει στο έδαφος. Να υπολογίσετε:

α. Την κινητική ενέργεια του Κ₀  του σώματος την στιγμή της εκτόξευσης.

β. Την χρονική στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος.

γ. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας στου σώματος ελάχιστα πριν χτυπήσει στο έδαφος.

δ. Το έργο του βάρους στο σώμα, από την εκτόξευση μέχρι που φτάνει στο έδαφος.

Δίνεται g = 10 m/s², οι αντιστάσεις από τον αέρα θεωρούνται αμελητέες.

   

Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Δυο μπάλες βρίσκονται στα σημεία Ο και Κ της ίδιας κατακόρυφης, η πρώτη στην ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου, με ύψος πάνω από 80m και η δεύτερη σε ένα μπαλκόνι που απέχει κατά (ΟΚ)=D=25m από την πρώτη. Κάποια στιγμή t₀=0, εκτοξεύεται η πρώτη οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀=10m/s, ενώ μετά από ένα δευτερόλεπτο, εκτοξεύεται επίσης οριζόντια και στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, με την πρώτη και η δεύτερη μπάλα με αρχική ταχύτητα u₀=15m/s. Ζητούνται:

i)  Η απόσταση μεταξύ των δύο μπαλών τη χρονική στιγμή t₁=1s.

ii) Η αντίστοιχη απόσταση μεταξύ τους τη χρονική στιγμή t₂=2s.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε μπάλας, τη στιγμή t₂, αν οι μπάλες έχουν την ίδια μάζα m=0,4kg. 

iv) Να αποδειχτεί ότι οι δυο μπάλες θα συγκρουστούν στον αέρα, πριν φτάσουν στο έδαφος και να βρεθεί η θέση της συνάντησης.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Μια μπάλα εκτοξεύεται οριζόντια, από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας ύψους Η=30m, με αρχική ταχύτητα υ₀ και κτυπάει στην κορυφή ενός κατακόρυφου στύλου που στηρίζεται στο έδαφος, σε οριζόντια  απόσταση d=40m από την πολυκατοικία και ο οποίος έχει ύψος h=10m, με ταχύτητα υ.

i)  Παίρνοντας το σύστημα αξόνων x,y όπως στο διπλανό σχήμα (και με τον καθορισμένο προσανατολισμό):

α) Να γράψετε τις εξισώσεις x=x(t) και y=y(t) για τις θέσεις της μπάλας.

β) Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ₀, καθώς και την γωνία που σχηματίζει η τελική ταχύτητα υ με τον στύλο, ελάχιστα πριν τη στιγμή της κρούσης.

ii) Θα μπορούσαμε βέβαια να πάρουμε την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, με την ίδια αρχή Ο των δύο αξόνων. Πώς θα δουλεύατε, ώστε να απαντήσετε στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;

iii) Ένας μαθητής, πήρε το σύστημα αξόνων (x,y) όπως στο διπλανό σχήμα, με αρχή το σημείο Κ του εδάφους και με τον προσανατολισμό που δείχνει το σχήμα. Σε τι απαντήσεις οδηγήθηκε και μέσω ποιου δρόμου, στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Μια οριζόντια βολή μέσα στον αέρα

Μια μπάλα μάζας m=0,4kg εκτοξεύεται οριζόντια, από ορισμένο ύψος, με αρχική ταχύτητα υ_ο=5m/s. Κατά τη διάρκεια της κίνησής της, δέχεται δύναμη αντίστασης από τον αέρα, της μορφής F=-bυ, (δύναμη αντίθετης κατεύθυνσης από την ταχύτητα και μέτρου ανάλογου προς το μέτρο της ταχύτητας). Μετά από λίγο η μπάλα περνά από μια θέση Α, η οποία βρίσκεται χαμηλότερα της θέσης εκτόξευσης κατά h=1m, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₁=6m/s, η οποία σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i)  Με βάση την αρχή της επαλληλίας, η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη, μια στην οριζόντια διεύθυνση και μια στην κατακόρυφη. Οι κινήσεις στους δυο άξονες θα είναι:

α) Ευθύγραμμη ομαλή στον οριζόντιο και ελεύθερη πτώση στον κατακόρυφο άξονα.

β) Ευθύγραμμη ομαλή επιβραδυνόμενη στον οριζόντιο και ευθύγραμμη ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.

γ) Μεταβαλλόμενη κίνηση στον οριζόντιο και μεταβαλλόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την επιλογή σας.

ii) Αν η μπάλα, αποκτήσει αρχική οριζόντια επιτάχυνση μέτρου α_ο=1,5m/s², αμέσως μετά την εκτόξευση, να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς b, η οποία εισέρχεται στην εξίσωση της δύναμης.

iii) Να υπολογιστεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης της μπάλας, στη θέση Α.

iv) Να υπολογιστεί το έργο της αντίστασης του αέρα από τη θέση Ο, μέχρι τη θέση Α.

v) Για τη στιγμή που η μπάλα περνά από τη θέση Α, να βρεθούν:

 α) Η ισχύς του βάρους.

 β) Η ισχύς της αντίστασης του αέρα.

Δίνονται g=10m/s², ημθ=συνθ=√2/2

Απάντηση:

ή

  Μια οριζόντια βολή μέσα στον αέρα

Μια οριζόντια βολή μέσα στον αέρα

Από κατακόρυφη σε οριζόντια βολή

Το σημειακό αντικείμενο του σχήματος έχει μάζα m = 0,5kg και εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω από το σημείο Κ. Αφού ανέλθει κατά h = 2m, εισέρχεται εφαπτομενικά στο λείο ακλόνητο τεταρτοκύ­κλιο κέντρου Ο και ακτίνας R = 1m και ολισθαίνει από το Α ως το Β. Αφού εγκαταλείψει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο Β, με οριζόντια ταχύτητα υ_Β περνάει από το σημείο Γ, που βρίσκεται στο ίδιο οριζό­ντιο επίπεδο με τα σημεία Ο και Α, όπου ΟΓ = d = 3m.

α) Ποια είναι η ταχύτητα υ_Β  του σώματος στο Β;

β) Με ποια ταχύτητα υ₀ εκτοξεύτηκε και ποια είναι η ταχύτητα υ_Α όταν περνάει από το Α;

γ) Ποια είναι η μεταβολή της ορμής του κατά την κίνηση στο τεταρτοκύκλιο;

δ) Βρείτε την κάθετη αντίδραση που ασκεί το τεταρτοκύκλιο στο σώμα όταν διέρχε­ται από τα σημεία Α και Β.

ε) Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή της απόστασης ΟΓ = d, ώστε το αντικείμενο να ολισθαίνει σε ολόκληρη την επιφάνεια του τεταρτοκύκλιου;

Δίνεται g = 10m/s².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ(pdf)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ(word)