Κινούμενοι στην πίστα της Daytona

Τα αγωνιστικά αυτοκίνητα της κατηγορίας Nascar κινούνται σε πίστα που παρουσιάζει κλίση με το οριζόντιο επίπεδο, (banked road). Ο πιο φημισμένος αγώνας του πρωταθλήματος είναι ο αγώνας στην πίστα της Daytona  στη Φλόριντα των ΗΠΑ γνωστός και ως Daytona 500. H μεγαλύτερη κλίση του δρόμου με το οριζόντιο επίπεδο είναι θ=31⁰ και η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς σε αυτό το τμήμα του δρόμου είναι R=305m,(1000ft). Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των ελαστικών και του δαπέδου είναι μ=0,5. Αν ένα τέτοιο αυτοκίνητο με μάζα m=1497kg, (3300pounds) κινείται στην πίστα της Daytona να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις.

i) Η ταχύτητα με την οποία μπορεί να κινηθεί το αυτοκίνητο χωρίς να απαιτείται η παρουσία τριβής είναι:

Συνέχεια...

Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος

Μια σφαίρα μάζας m=0,5kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=(3/π)m, διαγράφοντας οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου Ο. Η σφαίρα διανύει τόξο μήκους s=1,2m σε χρόνο t₁=0,8s.

i)  Να υπολογιστούν τα μέτρα της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας.

ii)  Να βρεθούν η περίοδος και η συχνότητα της κίνησης, καθώς και η τάση του νήματος.

iii) Αν κάποια στιγμή η σφαίρα περνά από τη θέση Α, σε πόσο χρόνο περνά για δεύτερη φορά από το σημείο Β, αν δίνεται η γωνία θ=60°.)

iv) Αν τη στιγμή t₀=0 η σφαίρα περάσει από το σημείο Α, ενώ μόλις φτάσει για πρώτη φορά, στο αντιδιαμετρικό του σημείο Γ, κοπεί το νήμα, να βρεθεί τη στιγμή t₂=3,55 s, η απόσταση της σφαίρας από το σημείο Α.

δίνεται π² ≈10.

Απάντηση:

ή

  Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος

Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος

Οριζόντια βολή και έργα

Μια μπάλα εκτοξεύεται από ορισμένο ύψος από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα υ₀=20m/s τη στιγμή t₀=0. Μετά από λίγο τη στιγμή t₁, περνά από μια θέση Α και τη στιγμή t₂, που η ταχύτητά της σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση, από τη θέση Β.

i)  Να βρεθεί  η στιγμή t₂, καθώς και η ταχύτητα υ₂ της μπάλας τη στιγμή αυτή.

ii) Αν κατά την μετακίνηση από το Α στο Β η δυναμική ενέργεια της μπάλας μειώθηκε κατά 60J,

 α) να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας, μεταξύ των δύο αυτών θέσεων.

 β) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους από το Α στο Β.

iii) Αν  η μάζα της μπάλας είναι m=0,4kg, να υπολογιστούν:

α) Η χρονική στιγμή t₁ κατά την οποία η μπάλα περνά από το σημείο Α.

β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μπάλας, τις στιγμές t₁ και t₂.

γ) Οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας τις παραπάνω στιγμές.

Δίνεται g=10m/s²,  ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή  

 Οριζόντια βολή και έργα

Οριζόντια βολή και έργα

Δυνάμεις μεταξύ φορτισμένων σφαιρών.

Πάνω σε ένα τραπέζι από μονωτικό υλικό και στο κέντρο Ο ενός κύκλου ακτίνας R, στερεώνουμε ένα μικρό μεταλλικό φορτισμένο σφαιρίδιο Α με φορτίο q₁=+q. Όταν στο σημείο Κ του κύκλου,  φέρουμε ένα άλλο όμοιο σφαιρίδιο Β με φορτίο q₂=+q, τα σφαιρίδια απωθούνται με δύναμη μέτρου F=4Ν.

Στο σημείο Λ του κύκλου, αντιδιαμετρικό του Κ, φέρνουμε ένα τρίτο σφαιρίδιο Γ, με φορτίο q₃=-q.

i)  Να υπολογίσετε την συνολική δύναμη, που δέχεται από τα δυο άλλα σφαιρίδια, το Α σφαιρίδιο στο κέντρο Ο του κύκλου.

ii) Ποια η αντίστοιχη δύναμη που δέχεται το σφαιρίδιο Β;

Μετακινούμε το Γ σφαιρίδιο, φέρνοντάς το στο σημείο Μ του κύκλου, όπου οι ακτίνες ΟΜ και ΟΚ είναι κάθετες.

iii) Να βρείτε τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται τώρα το Α σφαιρίδιο.

iv) Πόση δύναμη ασκεί το Γ σφαιρίδιο στο σφαιρίδιο Β;

Τα φορτισμένα σφαιρίδια να θεωρηθούν σημειακά φορτία.

Απάντηση:

ή

   Δυνάμεις μεταξύ φορτισμένων σφαιρών.

Δυνάμεις μεταξύ φορτισμένων σφαιρών.

Στα ίχνη μιάς βολής

Σώμα μάζας m = 0,2 kg, βάλλεται την χρονική στιγμή t₀ = 0, οριζόντια, με ταχύτητα μέτρου υ₀, από ύψος h πάνω από το έδαφος. Το σώμα την χρονική στιγμή t₁ περνά από ένα σημείο Α της τροχιάς του και μία μεταγενέστερη χρονική στιγμή t₂ περνά από κάποιο σημείο Β της τροχιάς του. Το χρονικό διάστημα Δt = t₂ – t₁ για την μετάβαση από το σημείο Α στο σημείο Β είναι 3 s. Τα ίχνη των σημείων Α και Β πάνω στο έδαφος απέχουν Δs = 75 m. Η απόσταση του σημείου Α από το σημείο Β είναι d = 75√2 <![endif]--> m. Το σώμα αφού περάσει από το σημείο Β χρειάζεται ακόμη 2 s για να φτάσει στο έδαφος. Να υπολογίσετε:

α. Την κινητική ενέργεια του Κ₀  του σώματος την στιγμή της εκτόξευσης.

β. Την χρονική στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος.

γ. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας στου σώματος ελάχιστα πριν χτυπήσει στο έδαφος.

δ. Το έργο του βάρους στο σώμα, από την εκτόξευση μέχρι που φτάνει στο έδαφος.

Δίνεται g = 10 m/s², οι αντιστάσεις από τον αέρα θεωρούνται αμελητέες.

   

Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Δυο μπάλες βρίσκονται στα σημεία Ο και Κ της ίδιας κατακόρυφης, η πρώτη στην ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου, με ύψος πάνω από 80m και η δεύτερη σε ένα μπαλκόνι που απέχει κατά (ΟΚ)=D=25m από την πρώτη. Κάποια στιγμή t₀=0, εκτοξεύεται η πρώτη οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀=10m/s, ενώ μετά από ένα δευτερόλεπτο, εκτοξεύεται επίσης οριζόντια και στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, με την πρώτη και η δεύτερη μπάλα με αρχική ταχύτητα u₀=15m/s. Ζητούνται:

i)  Η απόσταση μεταξύ των δύο μπαλών τη χρονική στιγμή t₁=1s.

ii) Η αντίστοιχη απόσταση μεταξύ τους τη χρονική στιγμή t₂=2s.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε μπάλας, τη στιγμή t₂, αν οι μπάλες έχουν την ίδια μάζα m=0,4kg. 

iv) Να αποδειχτεί ότι οι δυο μπάλες θα συγκρουστούν στον αέρα, πριν φτάσουν στο έδαφος και να βρεθεί η θέση της συνάντησης.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Μια μπάλα εκτοξεύεται οριζόντια, από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας ύψους Η=30m, με αρχική ταχύτητα υ₀ και κτυπάει στην κορυφή ενός κατακόρυφου στύλου που στηρίζεται στο έδαφος, σε οριζόντια  απόσταση d=40m από την πολυκατοικία και ο οποίος έχει ύψος h=10m, με ταχύτητα υ.

i)  Παίρνοντας το σύστημα αξόνων x,y όπως στο διπλανό σχήμα (και με τον καθορισμένο προσανατολισμό):

α) Να γράψετε τις εξισώσεις x=x(t) και y=y(t) για τις θέσεις της μπάλας.

β) Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ₀, καθώς και την γωνία που σχηματίζει η τελική ταχύτητα υ με τον στύλο, ελάχιστα πριν τη στιγμή της κρούσης.

ii) Θα μπορούσαμε βέβαια να πάρουμε την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, με την ίδια αρχή Ο των δύο αξόνων. Πώς θα δουλεύατε, ώστε να απαντήσετε στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;

iii) Ένας μαθητής, πήρε το σύστημα αξόνων (x,y) όπως στο διπλανό σχήμα, με αρχή το σημείο Κ του εδάφους και με τον προσανατολισμό που δείχνει το σχήμα. Σε τι απαντήσεις οδηγήθηκε και μέσω ποιου δρόμου, στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου