Η ορμή και η ενέργεια σε ένα σύστημα.

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=10kg και m₂=20kg αντίστοιχα, είναι δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m και ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στο Α σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=40Ν, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα τα σώματα να κινηθούν και τη στιγμή  t₁=2s το σώμα Α να έχει ταχύτητα υ₁=1,6m/s, ενώ το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl=0,6m.

i) Ποιος ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος;

ii) Να υπολογιστεί η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t₁.

iii) Να βρεθεί την παραπάνω στιγμή η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος.

iv)  Να υπολογιστεί η μετατόπιση του Α σώματος στο χρονικό διάστημα t₀ έως t₁.

Απάντηση:

ή

  Η ορμή και η ενέργεια σε ένα σύστημα.

  Η ορμή και η ενέργεια σε ένα σύστημα.

Μια κίνηση σε κυκλική τροχιά και μια κρούση

 

Μια σφαίρα μάζας 2kg είναι δεμένη στο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους l=1,25m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Α, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Μόλις το νήμα γίνει κατακόρυφο, στη θέση Β, η σφαίρα συγκρούεται με έναν κατακόρυφο τοίχο, με αποτέλεσμα να επιστρέφει και να φτάνει μέχρι τη θέση Γ, η οποία βρίσκεται χαμηλότερα, σε κατακόρυφη απόσταση h=0,45m, από την αρχική θέση Α.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα με την οποία η σφαίρα, φτάνει στην θέση Β (υπόδειξη: δουλέψτε ενεργειακά).

ii) Να βρεθεί η επιτάχυνση της σφαίρας στην αρχική θέση Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί, καθώς και στη θέση Β, ελάχιστα πριν την κρούση με τον τοίχο. Ποια η τιμή της τάσης του νήματος στις δύο αυτές θέσεις;

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση της με τον τοίχο.

iv) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας που οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Μια κίνηση σε κυκλική τροχιά και μια κρούση

 Μια κίνηση σε κυκλική τροχιά και μια κρούση

Μελέτη και μετατροπές ενός κυκλώματος

 

Στο διπλανό κύκλωμα το ιδανικό αμπερόμετρο δείχνει ένδειξη Ι₁ =0,72 Α, ενώ γνωρίζουμε τις τιμές των δύο αντιστάσεων R₁=20Ω και R₂=80Ω και την Ηλεκτρεγερτική δύναμη της πηγής Ε=72V.

i)  Να υπολογιστεί η εσωτερική αντίσταση της πηγής και η πολική της τάση.

ii)  Στο παραπάνω κύκλωμα, παράλληλα προς τον αντιστάτη R₂, συνδέουμε ένα άλλο, με αντίσταση R₃=20Ω.

α) Να σχεδιάσετε το κύκλωμα και να υπολογίσετε την ολική εξωτερική αντίσταση.

β) Ποια η ένδειξη του αμπερομέτρου;

γ) Να συνδέσετε στο κύκλωμα ένα ιδανικό βολτόμετρο, το οποίο να μετρά την τάση στα άκρα του αντιστάτη R₂. Ποια η ένδειξή του;

iii) Να συνδέσετε δύο σημεία του παραπάνω κυκλώματος με ένα αγωγό χωρίς αντίσταση, έτσι ώστε το αμπερόμετρο να διαρρέεται από μέγιστο ρεύμα. Αφού σχεδιάσετε το κύκλωμα που προκύπτει να βρείτε τις ενδείξεις αμπερομέτρου και βολτομέτρου.

Απάντηση:

ή

 Μελέτη και μετατροπές ενός κυκλώματος

 Μελέτη και μετατροπές ενός κυκλώματος

Με αφορμή ένα δύσκολο πρόβλημα

Για το κύκλωμα του  διπλανού σχήματος δίνονται ότι τo βολτόμετρο με εσωτερική αντίσταση R_v=500Ω δείχνει ένδειξη V_v=V_ΒΕ = 50V, R₁=200Ω, R₂=500Ω, ενώ το ιδανικό αμπερόμετρο δείχνει ένδειξη Ι₂=0,3 Α.

i)  Να βρεθεί η τάση V_ΑΒ καθώς και η ένταση Ι₁ που διαρρέει τον κλάδο ΑΒ του κυκλώματος.

ii) Να βρεθούν οι εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τους δύο άλλους αντιστάτες και την πηγή τάσεως V.

iii) Αν R₃=250Ω να υπολογιστούν:

α) Η τιμή της αντίστασης R₄.

β) Η τάση V.

Απάντηση:

ή

 Με αφορμή ένα δύσκολο πρόβλημα

 Με αφορμή ένα δύσκολο πρόβλημα

Τι κάνουμε, αν ξεχάσουμε ανοικτό το καλοριφέρ;

Επιστρέφοντας το βράδυ σπίτι, διαπιστώνουμε ότι είχαμε ξεχάσει ανοικτό το καλοριφέρ με αποτέλεσμα η θερμοκρασία στο υπνοδωμάτιό μας να έχει φτάσει στους 27°C. Θέλοντας να κατεβάσουμε τη θερμοκρασία, ανοίγουμε το παράθυρο «να μπει λίγο φρέσκος αέρας». Η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι 7°C. Μετά από λίγο κλείνουμε το παράθυρο και παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία έχει σταθεροποιηθεί στην τιμή 20°C, καλή θερμοκρασία για … ύπνο.

Τι ποσοστό της αρχικής ποσότητας του αέρα του δωματίου βγήκε από το χώρο κατά την παραπάνω διαδικασία, αν θεωρήσουμε ότι η θερμοκρασία όλης της ποσότητας του αέρα που βγήκε από το δωμάτιο, ήταν η αρχική των 27°C, ενώ ο αέρας είναι ένα ιδανικό αέριο.

Απάντηση:

ή

 Τι κάνουμε, αν ξεχάσουμε ανοικτό το καλοριφέρ;

 Τι κάνουμε, αν ξεχάσουμε ανοικτό το καλοριφέρ;

Αναλύοντας ένα τμήμα κυκλώματος

 

Στο σχήμα δίνεται ένα τμήμα κυκλώματος, για το οποίο δίνονται R₁=10Ω, R₂=6Ω, R₃=20Ω και V_ΑΒ=50V.

Το αμπερόμετρο Α₁ δείχνει ένδειξη Ι₁=3 Α, ενώ η συσκευή Σ είναι μη ωμικός καταναλωτής.

Να βρεθούν:

i) Η τάση στα άκρα του αντιστάτη R₃.

ii) Η ένδειξη του αμπερομέτρου Α₂.

iii) Η τάση στα άκρα της συσκευής Σ, καθώς και η ισχύς της.

iv) Οι ενδείξεις των δύο αμπερομέτρων αν συνδέσουμε με αγωγό αμελητέας αντίστασης τα σημεία Γ και Δ του κυκλώματος, με δεδομένο ότι η τάση μεταξύ των σημείων Α και Β θα πάρει την τιμή V_ΑΒ=40V.

Απάντηση:

ή

 Αναλύοντας ένα τμήμα κυκλώματος

 Αναλύοντας ένα τμήμα κυκλώματος

Μια φορτισμένη σφαίρα περνά ανάμεσα σε άλλες δύο.

 

Σε λείο μονωτικό οριζόντιο επίπεδο, έχουν στερεωθεί δύο μικρές φορτισμένες σφαίρες στα σημεία Β και Γ με φορτία q₁ και q₂ αντίστοιχα. Μια τρίτη φορτισμένη  σφαίρα Σ εκτοξεύεται οριζόντια από το σημείο Α, σημείο της μεσοκαθέτου της ΒΓ, με αρχική ταχύτητα υ_ο και με κατεύθυνση προς το μέσον Μ της ΒΓ, όπως στο σχήμα (κάτοψη).

i)  Πότε μπορεί η σφαίρα Σ να κινηθεί πάνω στην ΑΜ και πότε θα εκτραπεί;

ii) Αν τα φορτία q₁ και q₂ είναι θετικά:

α) Να βρεθεί το πρόσημο του φορτίου Q της σφαίρας Σ, αν αυτή φτάσει στο σημείο Μ, με ταχύτητα μέτρου υ₁= ½ υ_ο;

β) Να βρεθεί η επιτάχυνση της σφαίρας Σ στο σημείο Μ.

γ) Θα αποκτήσει η σφαίρα Σ ξανά ταχύτητα υ_ο και αν ναι, σε ποια θέση θα συμβεί αυτό;

Απάντηση:

ή

  Μια φορτισμένη σφαίρα περνά ανάμεσα σε άλλες δύο.

  Μια φορτισμένη σφαίρα περνά ανάμεσα σε άλλες δύο.

Η μεταφορά από ένα ουράνιο σώμα, σε άλλο.

 

Μια σφαίρα μάζας m=2kg ηρεμεί στη θέση Α και θέλουμε να την μεταφέρουμε στη θέση Β, του διπλανού σχήματος, όταν μεταξύ των δύο σημείων παρεμβάλλεται ένα βουναλάκι ύψους h₁=20m, ενώ η κατακόρυφη απόσταση των δύο σημείων είναι h₂=15m. Τριβές δεν υπάρχουν.

i)  Η μεταφορά μπορεί να γίνει με την επίδραση μιας μεταβλητής δύναμης F. Να υπολογιστεί το ελάχιστο έργο της δύναμης F, για την μεταφορά αυτή. Πόσο αυξήθηκε η μηχανική ενέργεια της σφαίρας κατά την παραπάνω μεταφορά;

ii) Εναλλακτικά μπορούμε να εκτοξεύσουμε τη σφαίρα, προσδίδοντάς της κατάλληλη αρχική ταχύτητα, η οποία θα της επιτρέψει να φτάσει στη θέση Β. Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης, καθώς και η αύξηση της μηχανικής ενέργειας της σφαίρας, στην περίπτωση αυτή.

 iii) Ας θεωρήσουμε δύο ουράνια σώματα (δύο πλανήτες τους οποίους για τις ανάγκες του προβλήματος ας τους θεωρήσουμε ακίνητους) και μας ενδιαφέρει η μεταφορά ενός σώματος Σ μάζας m=2kg, από το σημείο Γ στην επιφάνεια του Χ, στο σημείο Δ, στην επιφάνεια του σώματος Υ. Στο διάγραμμα δίνεται ένα ποιοτικό διάγραμμα του δυναμικού του σύνθετου βαρυτικού πεδίου των δύο πλανητών, όπου οι τιμές των δυναμικών των σημείων Γ, Ο (το σημείο με το μέγιστο δυναμικό) και Δ: V_Γ= - 6∙10⁷ J/kg, V_Ο= - 1∙10⁷ J/kg και V_Δ= - 2∙10⁷ kg.

α) Ποια η ελάχιστη αρχική κινητική ενέργεια, που πρέπει να προσδώσουμε στο σώμα Σ για την μεταφορά του από τον πλανήτη Χ στον πλανήτη Υ;

β) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος Σ τη στιγμή που φτάνει στον πλανήτη Υ.

Απάντηση:

ή

Η μεταφορά από ένα ουράνιο σώμα, σε άλλο.

Η μεταφορά από ένα ουράνιο σώμα, σε άλλο.

Από ένα διάγραμμα δυναμικού…

 

Μια μικρή φορτισμένη σφαίρα, φέρει θετικό φορτίο (q>0) και κινείται ευθύγραμμα μέσα σε ένα ηλεκτροστατικό πεδίο, περνώντας από το σημείο Ο (στη θέση x=0) έχοντας κινητική ενέργειας Κ_ο=0,04J. Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται το δυναμικό κατά μήκος της ευθείας x, πάνω στην οποία κινείται η σφαίρα.

i)  Η κινητική ενέργεια της σφαίρας τη στιγμή που διέρχεται από το σημείο Α, στη θέση x₁, έχει τιμή:

α) Κ₁=0,03J,    β) Κ₁=0,04J,   γ) Κ₁=0,05J.

ii)  Η κινητική ενέργεια της σφαίρας τη στιγμή που περνά από το σημείο Β, είναι ίση:

α) Κ₂=0,03J,     β) Κ₂=0,04J,      γ) Κ₂=0,05J.

iii) Ένας συμμαθητής σας υποστηρίζει ότι μεταξύ των σημείων Α και Β υπάρχει ένα σημείο, στο οποίο η ένταση του πεδίου είναι μηδενική. Να εξετάσετε αν έχει ή όχι δίκιο.

iv) Με βάση τις παραπάνω τιμές κινητικής ενέργειας που επιλέξατε, μπορείτε να υπολογίσετε το φορτίο q της σφαίρας;

v) Αν το δυναμικό στο σημείο Γ, έχει τιμή V_Γ=7.000V, να εξετάσετε αν η σφαίρα θα φτάσει ή όχι στο σημείο Γ.

Η κίνηση της σφαίρας γίνεται στο κενό και δεν δέχεται άλλες δυνάμεις, πέρα από την δύναμη του πεδίου.

Απάντηση:

 ή

 Από ένα διάγραμμα δυναμικού…

 Από ένα διάγραμμα δυναμικού…

Η κίνηση μιας φορτισμένης σφαίρας

 

Σε λείο μονωτικό οριζόντιο επίπεδο έχουν στερεωθεί δύο μικρές μεταλλικές σφαίρες Α και Β. Μια τρίτη μικρή σφαίρα Γ, μάζας m=0,02kg που φέρει φορτίο q=1μC κινείται ελεύθερα και ευθύγραμμα  όπως στο σχήμα, πάνω στην ευθεία ε, περνώντας από δύο θέσεις Ο και Κ με ταχύτητες μέτρων υ₁=4m/s και υ₂=6m/s.

i) Ποια πρόταση είναι σωστή:

α) Μόνο η σφαίρα Α είναι φορτισμένη.

β) Μόνο η σφαίρα Β είναι φορτισμένη.

γ) Και οι δυο σφαίρες Α και Β φέρουν φορτία.

δ) Καμιά από τις σφαίρες Α και Β δεν είναι φορτισμένη.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας, καθορίζοντας και το είδος του φορτίου που έχει κάθε σφαίρα (αν έχει…).

ii) Να σχεδιάσετε στο σχήμα το διάνυσμα της επιτάχυνσης της σφαίρας Γ στη θέση Ο. Αν το μέτρο της επιτάχυνσης αυτής είναι α₁, τότε φτάνοντας στη θέση Κ θα έχει επιτάχυνση μέτρου:

α) α₂ < α₁,   β) α₂=α₁,   γ) α₂ >α₁.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

iii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας Γ στις θέσεις Ο και Κ, καθώς και το έργο της δύναμης από το ηλεκτρικό πεδίο, από το Ο στο Κ.

iv) Να βρεθεί η διαφορά δυναμικού V_ΟΚ μεταξύ των θέσεων Ο και Κ.

v)  Αν (ΑΟ)=(ΟΚ)=4,5cm, να υπολογιστεί το φορτίο της σφαίρας Α.

Δίνεται k=9∙10⁹Ν∙m²/C².

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση μιας φορτισμένης σφαίρας

 Η κίνηση μιας φορτισμένης σφαίρας